Exercices Corrigés Transformation affine d’une variable aléatoire (PDF)

Description

Maîtriser la Transformation Affine d’une Variable Aléatoire : Exercices Corrigés

Un guide complet avec exercices, problèmes et corrigés détaillés pour comprendre l’impact d’une transformation affine sur l’espérance et la variance. Niveau : Lycée (Terminale) / Supérieur (L1) Auteur : Supporty.tn Ce document te propose une série d’exercices progressifs sur la transformation affine d’une variable aléatoire, un concept clé en probabilités. Tu apprendras à appliquer les formules de l’espérance et de la variance pour une nouvelle variable Y = aX + b, et à interpréter les résultats dans des contextes concrets. Ces compétences sont fondamentales et s’inscrivent dans le prolongement de l’étude des variables aléatoires, souvent introduite après les chapitres de dénombrement.

TABLE DES MATIÈRES

• INTRODUCTION
• Section 1: Fondamentaux des Transformations Affines
• Section 2: Calcul de l’Espérance d’une Variable Transformée
• Section 3: Calcul de la Variance et de l’Écart-type d’une Variable Transformée
• Section 4: Problèmes de Synthèse
• Section 5: Étude de Cas : Applications Concrètes
• RÉPONSES ET CORRIGÉS DÉTAILLÉS
• RESSOURCES COMPLÉMENTAIRES

INTRODUCTION

Bienvenue dans ce guide dédié à la transformation affine d’une variable aléatoire. Tu as déjà étudié les variables aléatoires, leur loi de probabilité, leur espérance et leur variance. Mais que se passe-t-il si l’on modifie cette variable de manière linéaire ? Par exemple, si une variable X représente un score, que devient le score moyen si l’on multiplie tous les scores par 2 et qu’on ajoute 5 points (Y = 2X + 5) ? C’est précisément ce que nous allons explorer.

Une transformation affine est une opération de la forme Y = aX + b, où X est une variable aléatoire et ‘a’ et ‘b’ sont des constantes réelles. Comprendre comment cette transformation affecte l’espérance (la valeur moyenne attendue) et la variance (la dispersion autour de la moyenne) est essentiel. Cela a des applications pratiques partout, de la conversion de devises à l’ajustement d’échelles de mesure en physique ou en économie. À la fin de ce module, tu seras capable de manipuler ces transformations avec aisance et de résoudre des problèmes qui semblaient complexes au premier abord.

Objectifs d’apprentissage

• Comprendre et définir ce qu’est une transformation affine Y = aX + b.
• Maîtriser et appliquer la formule de l’espérance d’une variable transformée : E(aX + b) = aE(X) + b.
• Maîtriser et appliquer la formule de la variance et de l’écart-type d’une variable transformée : V(aX + b) = a2V(X) et σ(aX+b) = |a|σ(X).

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